삶의 脈(맥)을 있는 수학

소망하는 모든 이에게 이루어지길...

sun teacher — Wed, 23 Feb 2022 11:50:06 +0900

일본여행...그리고 여운...

스기노이호텔 다나유 노천온천

수학/진학 및 진로지도상담

sun teacher — Thu, 14 Mar 2019 13:55:54 +0900

수학/진학 및 진로지도상담 합니다.

휴대폰 : T.010-7518-3341 이나

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연락주세요.

맥 수학전문학원과 함께한 세월...

sun teacher — Tue, 2 Mar 2010 19:57:53 +0900

오는 3월10일이면 맥 수학전문학원의

계약기간이 만료된다.

사정상 계약을 연장하지 않기로 했다.

그동안 같이 공부했던 학생들과도 이별을 해야한다.

그래도 이 블로그는 계속 존재할 것같다.

동일한 이름으로...

재미있고 아름다운 수의 세계

sun teacher — Mon, 13 Jul 2009 18:03:06 +0900

재미있고 아름다운 수의 세계

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

블로그 소개

sun teacher — Wed, 27 May 2009 21:36:26 +0900

난, 이런 사람이에요

딸기아빠...썬타이슨...수학선생...얼어죽을...동사(凍死)...M4 or M6... 이메일주소 dewfall_kr@hanmail.net

내일로 가는...

sun teacher — Tue, 24 Mar 2009 14:46:53 +0900

나의명상.pps

2.84MB

모눈종이양식

sun teacher — Tue, 23 Dec 2008 14:41:56 +0900

축구공의 기하학

sun teacher — Mon, 15 Dec 2008 22:18:05 +0900

축구공의 기하학

이 글은 서울대학교 수리과학부 김홍종 교수님의 제9회 서울대학교 자연과학대학 공개강좌 (2002년 2월 27일)의 원고입니다. 웹으로 옮기면서 약간의 편집을 거쳤음을 밝힙니다.

피버노바(Fever Nova), 2002

안녕하세요? 여러분들 축구 좋아하시죠? 올해는 우리나라와 일본에서 월드컵 축구 대회가 열리는 해이지요. 월드컵 대회가 몇 년마다 열립니까? 4년? 그렇습니다. (국제 수학자 대회도 같은 해에 열리지요.) 2002년 월드컵 공식 축구공 공급업체인 아디다스는 2001년 11월 30일 새로이 제작된 공식 축구공의 이름을 피버노바(FeverNova)라고 발표하였습니다. 이 이름은 열정을 상징하는 영어 ‘피버(Fever)’와 짧은 기간 환하게 빛나는 별을 뜻하는 스페인어 ‘노바(Nova)’가 결합된 것이랍니다. 축구공의 국제 규격은 둘레 69±1 cm, 무게 430±20 g 입니다.

피버노바의 원형은 1970년 멕시코 대회 때 사용된 텔스타(Telstar)라는 이름의 축구공입니다. 텔스타는 열 두개의 오각형과 스무 개의 육각형 가죽을 기워서 만들었습니다. 처음에는 잘 못 만들어 비가 스며들기도 하였지만, 그 후부터는 한 가닥의 실로 서른 두 개의 가죽을 기웠습니다. 요즈음은 천연가죽 대신 인조가죽을 사용합니다.

레오나르도 다빈치, 1452-1519

텔스타, 1970

텔스타 모양의 다면체는 고대 그리스의 위대한 학자 아르키메데스가 설명한 다면체에 나타납니다. 아르키메데스는 '꼭지점의 모습이 일정한 다면체'를 연구하였고, 그 중 하나가 정이십면체의 꼭지점 주위를 깎아만든 "깎은 정이십면체"입니다. 정이십면체는 한 꼭지점에 정삼각형 다섯 개가 모여 있는데, 이 꼭지점을 깎으면 오각형이 되고, 처음의 삼각형 면은 육각형으로 바뀝니다. 깎은 정이십면체는 이러한 다면체를 건축 설계에 이용한 미국의 건축가 풀러(Buckminster Fuller, 1895- 1983)의 이름을 따서 '버키 공'이라도 부르지요.

정십이면체의 모형

아르키메데스 다면체

1980년대에 미국의 컬(R. Curl)과 스몰리(R. Smally), 영국의 크로터(H. Kroto) 등의 화학자가 헬륨 기체 통에서 흑연을 고온으로 가열하여 탄소 동소체 C₆₀ 을 얻었는데 이 공로로 1996년에 노벨 화학상을 탔지요. 탄소 60개로 이루어진 이 동소체가 바로 버키 공처럼 생겼습니다.

사람의 뇌가 작동하는 과정에는 뉴런이라는 신경세포의 기능이 가장 중요합니다. 뉴런이 서로 정보를 주고받는 수상돌기의 끝에는 클라쓰린(Clathrin)이라는 분자가 있는데 이것이 생긴 모양도 버키 공과 똑 같습니다. 사람의 몸 속에 축구공 모양이 있어서 다들 축구를 좋아하나 봅니다. 바이러스들 중에도 다면체 모양을 한 것이 많지요.

퓔러렌(C₆₀)

뉴런

클라쓰린

축구공의 전개도

입체 그림 - 눈을 모아 두 그림을 하나로 겹쳐 보이게 하면 축구공을 입체적으로 볼 수 있다.

육각형과 오각형

축구공에 정육각형과 정오각형을 사용한다는 것은 아주 자연스러운 선택입니다. 육각형은 벌집에서도 볼 수 있고 거북이의 등에도 나타납니다. 이러한 모양으로 가죽을 자르면 버리는 부분이 가장 작다고 말할 수 있습니다. 정칠각형이나 정팔각형 등은 정육각형보다 둥글기는 하지만, 이들로 평면에 남는 부분이 없이 채울 수는 없습니다. 정육각형은 평면을 채우기에는 적합하지만 정육각형만으로 공 모양을 만들 수는 없습니다. 그 이유는 정육각형을 한 꼭지점에 세 개 모으면 360° 가 되어 곡면이 생기지 않고 평면이 되기 때문이죠. (이로부터 정육각형의 한 꼭지각의 크기가 120° 인 것을 알 수 있지요.) 그러므로 정육각형에 가까운 정오각형을 사용하는 것이 타당합니다. 마치 일년이 열두 달이듯이, 육각형과 오각형을 이용하여 공 모양을 만들려면 반드시 열 두 개의 오각형을 사용하여야 합니다.

산티아고

제1회 월드컵대회는 1930년 우르과이에서 열렸습니다. 13개국이 참가하였는데 우르과이와 아르헨티나가 결승전에서 서로 자기나라 공을 사용하자고 하여 결국 전반전과 후반전에 사용한 공이 달랐습니다. 공식적인 공은 1960년대에 처음 사용되었는데 산티아고라고 불렀죠. 산티아고는 볼록 팔각형과 오목 팔각형 모양의 가죽을 기워서 만들었는데, 동그란 공이라고 보기에는 조금 문제가 있었습니다. 기하학적으로 말하면, 팔각형만으로는 공 모양을 만들 수 없기 때문입니다. 다각형으로 공 모양을 만들려면 삼각형이나 사각형, 또는 오각형을 반드시 사용하여야 하지요. 산티아고에 가장 가까운 다면체는 정육각형 여덟 개와 정사각형 여섯 개로 만든 14면체입니다. 이 다면체 역시 아르키메데스의 목록에 나오는 것으로 정팔면체의 꼭지점을 깎아서 만들 수 있으므로 그 이름은 "깎은 정팔면체"입니다. 아르키메데스 다면체 중에서 공간을 빈틈없이 가득 채울 수 있는 유일한 다면체입니다. 이러한 제품은 많이 만들어도 쌓아두거나 운반하기 쉬운 모양이지요. 안압지에서 발견된 통일신라시대의 주사위도 이러한 모양입니다. 우리 조상의 지혜를 느낄 수 있습니다.

50,60년대의 축구공	FIFA 최초의 공인구, 산티아고
레오나르도 다 빈치의 깎은 정팔면체	안압지 주사위, 신라시대

둥글기 재기

자, 이제 다면체가 둥근 정도를 어떻게 측정할 수 있는지 생각하여 보기로 합니다. 축구공의 한 꼭지점에는 오각형 하나와 육각형 둘이 붙어 있습니다. 이것을 평면에 펼치면 온각인 360° 에서 12° 가 부족한 각이 나옵니다. 그 이유는 정오각형의 한 꼭지각은 108° 이고 정육각형의 한 꼭지각은 120° 이기 때문이지요.

360° - (108° + 120° + 120° ) = 12°
이 각도를 외각이라 부릅시다.

그러므로 다면체에서는 꼭지점의 외각을 살펴보고 둥근 정도를 말할 수 있습니다. 외각이 작으면 작을수록 둥글다고 할 수 있지요.

예를 들어 정육면체는 한 꼭지점에서 외각의 크기가 얼마나 될까요? 정육면체는 한 꼭지점에 정사각형이 세 개 모여 있습니다. 그러므로 펼친 도형에서는 한 꼭지점에 90° 가 세 개 모여 있고, 따라서 외각은

360° - (90° + 90° + 90° ) = 90°
입니다. 이 값은 축구공의 한 외각인 12 보다 훨씬 큰 값이니, 정육면체가 축구공보다 둥글지 않다는 것을 잘 측정하였다고 볼 수 있습니다.

유명한 프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트(R. Descartes, 1596-1650)가 조금 놀라운 사실을 발견하였습니다. 정육면체에는 꼭지점이 여덟 개 있고 따라서 외각을 모두 더하면

8 × 90° = 720°
입니다. 데카르트가 발견한 것은 이러한 현상이 모든 볼록 다면체에서 성립한다는 것입니다. (마치 평면에서 다각형의 외각을 모두 더하면 360° 인 것처럼 말입니다.)

예를 들어 정사면체는 모든 면이 정삼각형이고, 각 꼭지점에는 세 면이 모여 있으므로, 한 꼭지점의 외각은 360° - (60° + 60° + 60° ) = 180° 입니다. 따라서 총 외각은 역시

4 × 180° = 720°
입니다.

데카르트의 정리를 축구공에 적용하여 성립하는지 따져 보아도 되지만, 거꾸로 데카르트의 정리를 이용하여 축구공에 꼭지점이 몇 개인지 알 수 있습니다. 축구공에서 꼭지점의 외각은 12° 이고, 이것을 꼭지점의 개수만큼 모으면 720° 가 되어야 하므로, 축구공의 꼭지점의 개수는 60개라는 것을 알 수 있습니다.

내외비와 체면비

다면체의 둥근 정도를 측정하는 방법에는 외각을 측정하는 것 외에도 여러 가지가 있습니다. 다면체에 내접하는 공과 외접하는 공에서 지름의 비율을 살펴보는 것도 좋은 방법입니다. 이 비율을 '내외비'라고 부른다면 내외비가 1 에 가까울수록 둥글지요. 다음 표는 정다면체와 '깎은 정이십면체'(축구공)의 경우에 내외비를 측정한 것입니다.

다면체	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체	깎은 정이십면체
내외비	3	약 1.73	약 1.73	약 1.26	약 1.26	약 1.13

내외비 외에도 둥근 정도를 측정하는 법으로 겉넓이(표면적)에 대한 부피(체적)의 비를 살펴볼 수도 있습니다. 같은 겉넓이를 가지는 모양 중에서 가장 많은 용량을 담을 수 있는 것은 공뿐입니다. 그런데 닮은꼴의 경우에 겉넓이는 닮음비의 제곱에 비례하고, 부피는 닮음비의 세제곱에 비례합니다. 다시 말해, 닮음비가 2 라면 넓이는 네 배이고, 부피는 여덟 배라는 뜻이지요. 그러므로 겉넓이와 부피의 단순한 비를 구하는 것보다는 닮은꼴에 대하여도 변화 없는 값을 얻는 것이 적절합니다. 보기를 들면 다면체와 같은 겉넓이를 가지는 공의 부피에 대한 다면체의 부피의 비를 구하여 둥근 정도를 판정하여도 되지요.

아르키메데스는 자신의 업적 중 가장 자랑스러운 것이 공의 부피와 겉넓이를 구한 것이라고 말하고, 묘비에 그것을 새겨 둘 것을 부탁하였습니다. 공에 외접하는 원기둥을 생각한다면, 공의 부피는 이 원기둥 부피의 2/3 이고 공의 겉넓이는 원기둥의 옆넓이와 같다는 것을 아르키메데스가 발견하였습니다.

모서리

해밀턴(W. Hamilton, 1805-1865)이라는 아일랜드의 수학자는 사원수를 발견한 것으로 유명합니다. 그는 언젠가 정이십면체로 '세계일주'라는 게임을 만들기도 하였습니다. 이 게임의 목적은 정이십면체의 모서리를 따라 꼭지점을 모두 한번씩 지나 출발점으로 다시 돌아오는 것이었습니다. 요즈음 실제로 배낭 메고 세계일주 하는 사람들이 많은데, 여러 나라의 여러 도시를 두루 다닌 다음 집으로 돌아와야겠지요. 이러한 방법을 해밀턴의 회로라고 부릅니다. "일반적인 그래프에 해밀턴의 회로가 있는지를 발견하는 쉬운 방법이 있는가?"라는 문제는 현재 100만 불의 상금이 붙어 있습니다.

축구공에서도 모서리를 따라 꼭지점을 오직 한번씩 지나 다시 처음 위치로 되돌아오는 것이 가능할까요? 처음 위치로 되돌아오지는 않더라도 모서리를 따라 모든 꼭지점을 오직 한번씩 지나는 경로를 발견하는 것은 어렵지 않습니다.

축구공을 연결 상태가 같도록 평면에 펼쳐 놓은 그림

축구공 모양 다면체의 모서리의 개수는 얼마일까요? 우리는 이미 꼭지점의 개수가 60이라는 것을 알고 있습니다. 그런데 한 꼭지점에는 정육각형 두 개와 정오각형 하나가 모여 있으니, 한 꼭지점에서 만나는 모서리 수는 모두 세 개입니다. 그러므로 전체 모서리 수는

60 × 3 / 2 = 90
입니다. '나누기 2'를 하는 이유는 모서리마다 꼭지점이 두 개 있기 때문이지요. 이 아흔 개의 모서리 중에서 오각형의 변인 것은 모두

5 × 12 = 60
개입니다. 나머지 30개는 육각형끼리 만나서 이루는 모서리입니다.

대칭성

축구공 모양 다면체는 마주보는 오각형면의 중심을 지나는 축의 둘레로 72° 를 돌려도 그 모양은 변화가 없습니다. 또 마주보는 육각형면의 중심을 지나는 축의 둘레로 120° 돌려도 변화가 없습니다. 마지막으로 육각형끼리 이루는 모서리의 중심과 마주보는 모서리의 중심을 지나는 축의 둘레로 180° 회전시켜도 그 모양이 같습니다. 거울 속의 축구공도 자신과 같은 모양입니다. 그러므로 축구공 모양 다면체에서의 대칭성의 크기는

2×(4×(12/2) + 2×(20/2) + 30/2 + 1) = 120 = 5×4×3×2×1

입니다. 이러한 대칭성과 오차방정식의 해법이 밀접한 관계가 있습니다.

점박이 공

피버노바의 표면을 자세히 살펴보면, 골프 공처럼 점박이 무늬가 촘촘히 들어 있는 것을 볼 수 있지요. 평면에 점을 고르게 배열하려면 벌집 모양처럼 하는 것이 가장 조밀하게 하는 것입니다. 그러나 공의 표면, 즉, 구면에 점을 고르게 배열하는 것은 아주 어려운 문제입니다. 구면에 점을 고르게 배열하는 방법은 다섯 가지뿐입니다. 그들은 모두 다섯 가지 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)와 외접구가 만나는 점들입니다. 그 밖에는 구면에 많은 점들을 고르게 배열할 수 있는 방법은 없습니다. 그럼에도 불구하고, 어느 정도 고르게 배열하려면 돔(dome)을 설계하는 것처럼 하면 됩니다. 돔을 만들려면 우선 정이십면체의 각 모서리를 n등분하면서 각 면을 작은 삼각형들로 조각이 나도록 합니다. 그런 다음 다면체를 부풀려 모든 꼭지점이 외접하는 구면에 놓이도록 하면 됩니다.

n = 1	n = 2	n = 3
n = 4

다면체를 만드는 다양한 방법이 있지만 아직도 많은 연구가 진행되고 있습니다. 다면체 연구는 크리스탈 등의 결정이론, 바이러스나 생명체 연구, 재료공학, 금속공학, 신소재 연구, 지구과학, 건축 이론 등이나, 예술 작품, 달력 제작, 주사위 등의 놀이기구를 만드는 데에도 많이 활용됩니다.

퀴즈 문제

1. 공이 날아가면서 그리는 자취는 어떠한 곡선인가요?

2. 여러 축구팀이 경기하여 우승 팀을 가리려고 합니다. 추첨을 통하여 시합할 짝을 정한 다음, 진 팀은 탈락하고 남은 팀끼리 또 다시 짝을 정하여 시합하는 것을 계속하여, 마지막에 남은 두 팀으로 우승을 정합니다. 이와 같은 경기 방법을 토너먼트(tournament)라고 하지요. 혹시 시합에 남은 팀의 수가 홀수라서 짝을 정할 수 없는 경우가 있으면, 추첨으로 한 팀을 정하여 그 팀은 시합하지 않고 이긴 것으로 간주합니다. 이와 같은 토너먼트에 1000 개의 팀이 참가한다면, 모두 몇 번의 시합을 하여야 우승팀을 정할 수 있나요? 아름다운 풀이만이 가치 있습니다.

3. 떨어진 높이의 반만큼 튀어 오르는 공을 1 m 높이에서 떨어뜨리면 공이 멈출 때까지 움직이는 거리는 모두 얼마인가요?

4. 축구공 하나에 같은 크기의 축구공을 최대 몇 개까지 접하도록 할 수 있습니까? (고차원에서 이러한 관찰은 현대적인 통신 이론에 주요하게 쓰입니다. 신호를 보낼 때에 오류가 나지 않고 잡음도 들어가지 않도록 하기 위해서 필요하지요.)

5. 정다면체에서 해밀턴의 회로를 구하여 보세요.

6. 축구공의 지름은 몇 cm 인가요?

참고문헌

유클리드, 기하학 원론, 이무현 옮김, 교우사, 1999.
http://venus.dongyang.ac.kr/~hb2sky/soccer/soccer.htm
http://www.adidas.com/
http://www.bfi.org/
http://www.fifa.com/
http://www.georgehart.com/

실수의 연속성

sun teacher — Mon, 15 Dec 2008 22:07:36 +0900

실수의 연속성

물체의 길이나 질량, 땅의 넓이, 시간 같은 것을 나타낼 때, 또는 야구의 타율이나 이자율 같은 것을 계산할 때 우리가 사용하는 수는 정수, 유리수, 실수 중 어느 것이라고 생각하는가? 만약 "실수" 라고 대답한다면, 지금까지 배운 수학적 지식이 이미 여러분이 세상을 보는 시각에 영향을 미친 결과이다.

수직선
실제적인 측정이나 계산에서는 분수나 소수, 즉 유리수만 가지고도 충분하다. 무리수를 숫자로 쓰면 (즉 소수로 표현하면) '순환하지 않는 무한소수' 가 되므로 정확히 쓸 수 없다. 따라서 무리수는 나 π 와 같이 기호로밖에 나타낼 수 없으며, 그것들을 가지고 계산한 결과는 + 1 이나 3π 와 같이 하나의 수인데도 불구하고 식처럼 써야 한다. 그런데도 중학교에서 수학을 공부한 사람들은 예를 들어 물체의 길이는 실수라고 생각한다. 왜일까?
우리가 실수를 친숙하게 느끼는 것은 바로 초등학교에서부터 수학 시간에 계속 사용해 온 '수직선' 때문이다. 수학의 이곳저곳에서 워낙 반복적으로 수직선을 사용하다보니 우리의 의식 속에는 "수는 곧 수직선" 이라는 이미지가 단단히 자리잡고 있다. 그런데 중학교에서는 그 직선 위에 유리수를 모두 표시해도 빈틈이 남으며, 그 빈틈에 해당하는 수(무리수) 까지 포함하는 수의 집합을 '실수' 라고 부른다. 그래서 "수는 곧 수직선" 이라는 이미지는 "수직선은 곧 실수의 집합" 이라는 좀 더 세련된 이미지로 바뀐다.

실수의 연속성 또는 완비성
그런데 수직선과 실수를 동일한 것으로 본다면 한 가지 중요한 성질에 착안하지 않을 수 없다. 수직선 위에 모든 실수에 대응하는 점들을 찍으면 직선 위에는 빈 곳이 없게 된다. 연필을 종이에서 떼지 않고 '연속적으로' 주욱 그려 나가도 연필이 지나가는 모든 위치에 실수들을 크기 순서대로 대응시킬 수 있는 것이다. 이것이 유리수가 갖지 못한, 실수의 특이한 성질이고 이런 성질을 가리켜 '실수의 연속성' 이라고 하기도 하지만 다른 중요한 용어와 혼동될 수 있으므로 '완비성' (completeness) 이라고 한다. 이 말은 빈 틈이 없음을 뜻하는 말이다.
여기까지만 생각하면 우리는 실수에 대해 많은 것을 아는 것 같다. 하지만, 사실 실수의 정확한 개념을 정수나 유리수의 경우처럼 상식적으로 이해하기는 어렵다. 예를 들어, 실수로 이루어진 '집합'이 빈틈없다는 것은 실제로는 무슨 말일까? 예를 들어 3 과 4 사이에 3.5 를 비롯한 다른 수들이 연속적으로, 빈틈없이 들어차 있다는 것이 무슨 뜻인지 정말 이해할 수 있을까? 실수는 얼마나 많기에 그 무수히 많은 유리수로도 채워지지 않는 수직선을 빈틈없이 채운단 말인가?
실수가 과연 무엇인지, 어떤 성질을 갖는지는 미적분을 비롯해 많은 다른 수학 분야의 기초가 된다. 실수의 성질을 명확히 하기 대해 수학자들이 기울인 노력의 일부를 들여다 보기 위해 여기서는 '빈틈없다' 라는 성질에 대해 좀 더 자세히 생각해 보자.

유리수의 집합은 빈틈이 있는가?
먼저, '빈 틈' 이라는 것이 무엇인지 알아보기 위해 유리수의 집합에 빈 틈이 있다는 것이 무엇을 말하는지 알아 보자. 수직선에 와 같은 점을 찍을 수 있고 (자와 컴퍼스로 작도할 수도 있다.) 이것은 유리수가 아니기 때문에 그 점에서 유리수의 집합은 끊어져 있다는 것이 중학교 교과서에 나와 있는 내용이다. 하지만 이것은 완전한 설명이 아니다. 수직선은 수의 집합을 나타내는 모형일 뿐이다. 우리가 가진 것이 유리수를 모두 모아 놓은 집합 뿐이라면, 그 집합에 '빈 틈' 이 있다는 것을 그 자체로 어떻게 알 수 있는가? 그 답은 대충 이렇다.
(A) 0.8, 0.88, 0.888, 0.8888, ……

와 같은 수열은 수렴하는가? 즉, 어느 하나의 수에 무한히 가까워져 가는가? 그렇다. 그리고 그 값은 8/9 이므로 이 수열의 극한값은 8/9 이다. 이것이 바로 0.8888…… = 8/9 라고 하는 말의 의미이다. 즉, 0.8888…… 은 (A) 수열의 극한을 나타내는 기호이다.
(B) 0, (1/2), (3/4), (7/8), ……
와 같은 수열은? 역시 수렴하고 그 극한값은 1 이다.
수열이 수렴할 것을 보장할 수 있는 조건은 많지만 그 중 하나의 예로, 위의 두 수열과 같이 계속 증가하면서 어느 한계를 절대 초과하지 않는 수열 (전문용어: 위로 유계인 증가수열) 은 당연히 수렴해야 할 '것처럼 보인다'. 그것들이 수렴하지 않으면 어쩌겠는가? 계속 증가하는 무수히 많은 수들이 어느 한계 이하에서만 값을 취할 수 있다면, 그 한계 아래의 어느 한 곳에 계속 가까워지지 않고 배기겠는가?
그런데, 놀랍게도 우리가 가지고 있는 것이 유리수 뿐이라면, 이렇게 만들어진 수열 (어느 한계를 초과하지 않는 증가 수열) 의 극한값이 존재하지 않는 경우가 생긴다. 예를 들어,
(C) 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ……
이 수열의 원소들은, 그 자신은 제곱해서 2 보다 작되, 끝자리수에 1 을 더해서 제곱하면 2 보다 커지게 되는 유한소수들이다. 이 수열은 분명 계속 증가하고 있으며, 1.5 를 넘을 수 없으므로 당연히 어딘가로 수렴해야 할 것 같은데, 수열의 각 원소가 유리수임에도 불구하고 그 극한값은 유리수의 집합 안에는 없다. 바로 여기에서 유리수의 집합의 '빈 틈' 이 발견된다. 다시 말해, (C) 의 수열은 유리수의 집합의 '빈 틈' 을 향해서 수렴하고 있는 것이다!

실수의 집합은 정말 빈틈이 없는가?
'빈 틈' 이라는 것의 수학적인 의미는 무한에 기초한 것이므로 수직선 위에 구멍이 뚫렸다는 식으로 직관적으로 파악하는 것과는 상당한 거리가 있다. 그러나 그런 '이상한' 정의와 논의는 결국 직관적으로 생각하던 개념들에 논리적인 근거를 주고, 동시에 불완전한 기초 때문에 나타나는 논리적인 문제들을 해결하기 위한 것이다. 고대 그리스의 '제논의 역설' 등 무한에 관련된 많은 문제들은 이처럼 무한을 하나의 실체로 (물론 수와는 다른 실체임) 인정하고 그것을 통해 실수의 개념을 명확히 함으로써 해결되었다. 특히, 대부분의 자연 현상과 사회 현상을 설명하는 이론들의 중요한 도구가 되고, 물리학을 비롯한 많은 분야에 응용되고 있으며, 우리 생활에도 적지 않은 영향을 주고 있는 미적분학(calculus) 역시 이러한 기초 위에 서 있는 것이다.
수학에서는 최소한의 가정으로 출발하는 것이 큰 가치를 가지므로 현재 수학에서 쓰이는 빈틈없음의 엄밀한 정의(실수에 대한 '완비성의 공리') 는 다음과 같이 다소 뜬구름 잡는 듯하다.

완비성의 공리: 어느 값을 초과하지 않는 원소들로만 이루어진, 실수의 부분집합(단, 공집합이 아닌)을 임의로 잡고 그것을 A 라 하자. 이 때, A 의 어떤 원소도 u 를 초과하지 않게되는 실수 u 들의 집합을 잡고 그것을 U 라 하면, U 에는 최소값이 있다. (전문용어: 위로 유계인 실수의 임의의 부분집합에 대해 최소상계가 존재한다.)

하지만 그 의도는 결국 '빈 틈' 이 없다는 것이다. 즉, 위 공리에서 A 와 U 는 어떤 경계를 맞대고 있으며, 그 경계가 바로 U 의 최소값이다. 그런데 U 의 최소값이 없다는 것은 그 경계가 바로 '빈 틈' 이 된다는 것이며, 공리는 그런 경우가 없다 (없어야 한다) 는 말을 하고 있는 것이다.
우리는 자연수의 집합을 확장하여 정수의 집합을 만들었고, 다시 확장하여 유리수의 집합을 만들었다. 하지만 유리수의 집합의 빈 틈을 '모두' 메울 수 있도록, 그것도 유리수의 집합이 가지고 있는 덧셈과 곱셈에 대한 좋은 성질 (결합법칙, 분배법칙, 순서 등등) 들을 잃지 않도록 확장하여 실수의 집합을 만들기는 쉬운 일이 아니다. 그 해답은 20세기 초에 칸토르와 데데킨트에 의해 나왔다. 그 방법들을 여기서 소개하지는 않겠지만²⁾, 결국 '순환하지 않는 무한소수' 를 곧 무리수로 볼 수 있다는 결론이 나오게 된다.

빈틈을 메운다는 것
우리가 수직선과 실수를 같은 것으로 볼 수 있는 것, 그리고 정수, 유한소수, 순환하는 무한소수는 유리수이고 순환하지 않는 무한소수는 무리수이며 그 모두를 합하면 실수 전체의 집합을 이룬다고 막연히 알고 있는 것을 정말 그렇게 되게 하고, 동시에 미적분학과 같은 수학 이론이 전개되면서 나타난 논리적인 문제들을 해결하기 위해 수학자들이 '따지고 들어간' 역사를 보면 마치 한 편의 드라마처럼 흥미진진하다. (단지 어느 정도 수학을 공부해야만 볼 수 있는 드라마임) 그것은 유리수의 집합의 '빈 틈' 을 메우는 동시에 수학의 기초에 놓여 있던 논리적인 '빈 틈' 을 메운 것이기도 하다.

참고
수학용어 - 실수
답변모음 - 실수에 대하여, 수의 구성·체계

송영준(yacc@mathlove.org)

피보나치 잎차례

sun teacher — Fri, 7 Nov 2008 19:12:37 +0900

피보나치 잎차례

식물의 잎은 각각의 잎들이 성장에 필요한 햇빛, 습기, 공기 등을 얻는데 가장 좋은 방법으로 생겨난다. 잎이 난 자리 바로 위에 잎이 난다면 아래의 잎은 성장에 필요한 요소들을 얻는데 어려움이 생길 것이다. 따라서, 잎은 줄기를 따라 올라가면서 나선형으로 약간씩 비껴나서 빛을 최대한 많이 받으려고 하는 것이다. 이와 같이 줄기에서 잎이 나는 방식을 잎차례라고 한다. 식물의 맨 아래에서부터 시계반대방향으로 잎이 난 순서대로 번호를 붙였을 때, 1번 잎 위에서 다른 잎이 오기까지 8개의 잎이 3바퀴를 돌면 3/8 잎차례라고 한다. 즉, 식물이 a번 회전하면서 b개의 잎이 나올 때, (b+1)번째 잎이 처음 잎 위에 나게 될 때, a/b 잎차례라고 한다. 대부분의 식물에서 잎차례를 계산해 보면 분모와 분자에 피보나치 수가 들어 있어 (잎차례)는 황금각(137.5°)에 가까워진다.

출처 : 사단법인전국수학교사모임